¿De qué se trata?
Desde el trabajo fundacional de Newton en mecánica, las ecuaciones diferenciales han sido centrales en distintas ciencias, y en particular en la matemática. Casi cualquier rama de la matemática encuentra una fuerte raíz en el estudio de las mismas y el objetivo principal de este seminario es darle fundamento a esta última idea. Para esto nos guiaremos por lo siguiente.
En el caso de las EDOs, podemos marcar tres grandes hitos en su conceptualización:
1. Integración Explícita: Los primeros casos se lograban solucionar explícitamente con combinaciones de las funciones "elementales". Los distintos casos, inclusive aquellos simples como el péndulo físico, comenzaron a forzar esta "lista" dando lugar, por ejemplo, a las funciones elípticas y la necesidad de integrarlas, lo que se encuentra en la base de la teoría de Superficies de Riemann.
2. Integración Implícita, Teorema de Liouville (y Arnold en su versión moderna): La mecánica newtoniana con fuerzas dadas por potenciales tiene una versión analítica que es la mecánica hamiltoniana. En este contexto se trabaja con ecuaciones diferenciales de primer orden en espacios de dimensión par 2n. La integración implícita nos dice que si encontramos n funciones f_i que son preservadas por las soluciones y cuyos “gradientes” forman (genéricamente) un conjunto LI del tangente, entonces existirá un cambio de coordenadas en donde las soluciones de la ecuación se verán como flujos lineales en toros dados por las intersecciones de los conjuntos de nivel de estas funciones. Aquí aparecen otros dos ingredientes algebraicos fundamentales: La geometría algebraica (las cantidades conservadas suelen ser polinomios) y las álgebras de Poisson (las cantidades f_i forman un álgebra con una estructura de Poisson que indica que estas funciones deben conmutar). Una herramienta fundamental para el estudio de este tipo de integrabilidad es la representación de la ecuación en cuestión como una ecuación diferencial matricial dada por pares de Lax. En este contexto la isoespectralidad es la propidedad fundamental que arrojará las cantidades conservadas. La naturaleza algebraica de esta representación permite vincular la geometría algebraica al problema dinámico considerado. [1,2,3,4,5]. Antes de dejar este punto, vale mencionar otro objeto algebraico fundamental: los grupos de Lie están vinculados a la integrabildiad por cantidades conservadas a través del renombrado Teorema de Noether, donde se formaliza el pasaje las simetrías del sistema a las cantidades conservadas.
3. Teoría del Caos: Surge como descubrimiento de que los métodos anteriores no siempre resuelven las ecuaciones hamiltonianas. En estos casos, los métodos algebraicos fracasan y se da lugar a métodos geométricos, y emerge lo que se conoce como teoría del caos. Otra interesante rama que surge en este contexto, aparece al estudiar la subsistencia de los toros invariantes de los casos integrables al perturbar las dinámicas. Esto esta asociado a importantes nociones de estabilidad de soluciones y es el campo de estudio de la teoría KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser). [6].
En el caso de las EDPs, los puntos 1, 2 y 3 admiten importantes analogías. En particular, la teoría de la integrabilidad. El caso paradigmático de esto último se corresponde con la ecuación de Korteweg-de Vries u_t = u u_x + u_{xxx}, que es una ecuación no lineal proveniente de la mecánica de los fluidos donde se encuentran soluciones del tipo solitón, imprescindibles en los modelos físicos cuánticos de la mecánica de partículas y también en importantes avances de la matemática contemporánea. No es casual que esta ecuación tenga fuerte relación con la ecuación de Schrödinger y que su resolución más general se encuentre motivada por los procesos inversos de scattering para recuperar potenciales. Ahora en el contexto infinito dimensional, será nuevamente la representación con pares Lax lo que permite el abordaje profundo de esta ecuación, y será mediante esta herramienta que los operadores de Schrödinger se vincularán a la KdV. La analogía con el caso finito dimensional Hamiltoniano se dará a través de la existencia de cantidades conservadas surgidas de la representación mencionada. Nuevamente, la naturaleza algebraica del método de Lax permitirá un fuerte vínculo entre la geometría algebraica y los procesos de resolución mencionados. [2,3].
Nos proponemos:
1. Pasar por los puntos 1 y 2 (dimensión finita): revisar el péndulo físico y su no resolución con funciones elementales. Pasar a la integrabilidad a la Arnold-Liouville con cantidades conservadas y revisar ejemplos interesantes (flujos geodésicos, Lattice de Toda, Cuerpo Rígido de Euler). Aparecerá en este camino la herramienta fundamental de la representación de Lax y su isoespectralidad inherente que permite dar con cantidades conservadas. Esto permitirá generalizar las cosas a dimensión infinita. [1,2,3,4].
2. Estudio de la KdV (dimensión infinita): Una generalización a dimensión infinita posible de la integrabilidad a la Aronld-Liouville se da naturalmente en el marco de la ecuación KdV. Se trata de una ecuación no lineal en derivadas parciales, con soluciones denominadas solitones que tienen una fuerte estabilidad. Esto último debido a la existencia de infinitas leyes de conservación. Si se interpretan tales soluciones como flujos (en la variable t) en un espacio adecuado de funciones, con cierta estructura simpléctica, las leyes de conservación son integrales del movimiento y entonces se les puede ver como ejemplos de sistemas hamiltonianos con un número infinito de grados de libertad. La conexión entre el esquema finito dimensional y el infinito dimensional se hará a través de los pares de Lax, donde ahora en lugar de matrices se utilizan operadores. Este proceso tiene un fuerte contenido de mecánica cuántica, ya que en estos operadores aparecen naturalmente los operadores de Schrödinger. [3,4].
Referencias
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Andreas Knauf, Mathematical Physics: Classical Mechanics.
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B. Dubrovin, Integrable Systems and Riemann Surfaces
- Maciej Dunajski, Integrable Systems.
- Govind, Krishnaswami, Vishnu. An Introduction to Lax pairs and the zero curvature representation.
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Jürgen Moser, Three Integrable Hamiltonian Systems Connected with Isospectral Deformations.
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Philip Holmes, Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and chaos.
Reunión inicial (y horario candidato):
Viernes 16 de agosto, 16:00 hs, en el salón 101 (seminarios del IMERL)
Organizan: Alejandro Passeggi y Armando Treibich.