Un acercamiento a la conjetura de la n-coherencia.

 Los anillos noetherianos son de gran importancia a la hora de construir aproximaciones de módulos finitamente generados sobre dichos anillos. En efecto, es bien sabido que para todo módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano se puede construir una resolución por módulos proyectivos finitamente generados (o equivalentemente, por módulos libres de rango finito).

 

A un nivel más general, se tienen los anillos coherentes, dados por aquéllos cuyos ideales finitamente generados son finitamente presentados. Lo anterior es equivalente a decir que para todo módulo finitamente presentado sobre dichos anillos existe una resolución por módulos proyectivos finitamente generados.

 

No siempre es posible construir tales resoluciones, pero hay módulos para los cuales se pueden obtener resoluciones truncadas por proyectivos finitamente generados. Más precisamente, tenemos los módulos de tipo FP, concepto que se debe probablemente al grupo Bourbaki. Éstos se definen como aquellos módulos para los cuales existe una sucesión exacta (resolución truncada) de la forma donde cada es proyectivo y finitamente generado. Por otro lado, asociados a esta clase de módulos, están los anillos $n$-coherentes (generalizaciones de los noetherianos y los coherentes), que se definen como aquéllos sobre los cuales para todo módulo de tipo FP se puede construir una resolución por proyectivos finitamente generados. Sin embargo, a diferencia de los anillos noetherianos y coherentes, se desconoce si los anillos -coherentes se pueden caracterizar en términos de ideales. Más precisamente, Dobbs, Kabbaj y Mahdou en 1997 hacen la pregunta de si la -coherencia de un anillo es equivalente a que todo ideal de tipo FP sea de tipo FP. Esta pregunta representa un problema abierto a día de hoy, al cual nos referiremos como la conjetura de la -coherencia.

 

El propósito de esta charla es presentar algo de álgebra homológica en torno a esta conjetura, más precisamente, nuestro interés estará en las clases de módulos inyectivos y planos relativos a cocientes , donde es un anillo e es un ideal de tipo FP. 
 

 

Esto es un trabajo conjunto y en desarrollo con Rafael Parra.

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