Resumen: El viernes vamos a comentar la siguiente historia de las
ecuaciones diferenciales (ver abajo o [1]) y así motivar trabajos
recientes. Estos últimos permiten, en sus primeras implementaciones
pruebas asistidas por computadora de la existencia de caos para mapas
del anillo en amplias familias analíticas. Se espera que puedan ser
aplicados sistemáticamente, en particular en mapas que surgen en
distintas ciencias, los cuales en bajos grados de libertad suelen
tener un mapa discreto del anillo como sección de retorno. La idea es
hacer una charla amplia, no necesariamente para especialistas del área.
[1] http://www.scholarpedia.org/ar
Breve Historia
Las ecuaciones diferenciales relevantes hasta el siglo 20 surgen de la
mecánica Hamiltoniana, es decir, aquellas que admiten potenciales, y
por lo tanto conservan la energía mecánica. Aunque las soluciones
explícitas se fueron complicando, como sucede al intentar resolver la
ecuación del péndulo simple o el problema de Kepler en donde aparece
la necesidad de utilizar primitivas que no son usuales (funciones
elípticas en dichos casos), nuestros ancestros matemáticos se las
fueron ingeniando para aumentar la lista de funciones concebidas y
tomar sus versiones analíticas forma parte del inicio de la teoría de
superficies de Riemann. Otro aspecto algebraico importante que
apareció a finales del siglo 19, hoy se conoce como el Teorema de
Arnold-Liouville: Si encontramos suficientes cantidades conservadas
"independientes", entonces con un cambio de coordenadas veremos que
las soluciones de nuestra ecuación diferencial viven genéricamente en
toros y son flujos lineales en ellos, y fuera de ellos habrán
singularidades y posibles conexiones entre ellas: un ejemplo simple
pero muy importante de esto el caso del flujo asociado al péndulo
físico. Las cantidades conservadas forman un álgebra de Poisson, y los
toros surgen de intersectar las curvas de nivel de las distintas
funciones. Esta nueva victoria Algebraica, llevó la idea de que el
problema de entender las ecuaciones diferenciales Hamiltonianas se
había acabado. Sin embargo, a finales de siglo 19 y principios del 20,
el problema de los 3-cuerpos no se dejaba dominar por este método,
faltaban cantidades conservadas. Entra aquí Poincaré, quien de hecho
"prueba" que no podrán existir suficientes cantidades conservadas,
pero más importante que esto, es que da cuenta del fenómeno que lo
prohíbe: Intersecciones entre variedades estables en inestables de un
mismo punto silla para un mapa discreto en un cilindro, que surge como
mapa de retorno de la ecuación diferencial en cuestión. A su vez, en
aquellos años las ecuaciones diferenciales no Hamiltonianas cobraron
importancia a partir de circuitos eléctricos que irrumpieron, como el
famoso circuito de Van der Pol (primer intento de modelar el corazón
como un c.e.), y nuevamente, por ser una e.d.o. de orden 2,
periódicamente forzada, admite un mapa de retorno en un plano, que es
un cilindro si removemos el origen. Poincaré entiende que la teoría de
ecuaciones diferencial debe admitir estudios cualitativos, ya que no
tiene sentido seguir extendiendo la lista de fórmulas, y que aunque lo
hiciéramos, no nos darían información relevante, y dedica sus últimos
trabajos en matemática a estudiar mapas del anillo con condiciones
"twist", ya que los mapas que provienen de e.d. suelen tener tal
condición. Esto lo continúa Birkhoff, y se abre una teoría, que son
los sistemas dinámicos de superficies. Por supuesto, una pregunta
central durante el desarrollo de esta área fue, y es, decidir si una
dinámica dada es caótica o no, tanto en el mundo conservativo
(Hamiltoniano) como disipativo (ecuaciones tipo Van der Pol).
Decidir si un mapa del anillo es caótico o no ha sido un problema
central en los sistemas dinámicos desde entonces, y aunque se llenó de
modelos matemáticos para el caos, la teoría falla en decidir
formalmente su existencia. Si nos vienen con un mapa dado desde otra
ciencia (está repleto de casos), la prueba rigurosa de la existencia
de caos es hoy casi imposible. Por otro lado, está lleno de resultados
numéricos que dan "evidencia" echando mano al concepto de exponente de
Lyapunov estimados numéricamente, y luego suelen cometer la
imprudencia de confundir al lector con que hay una prueba formal
detrás de todo eso, como sucede por ejemplo en el caso del péndulo
doble. Del lado matemático, ante no poder decidir cuándo un mapa es
caótico o no, se ha tomado por muchos autores el punto de vista
genérico, donde para el caso conservativo se tiene la existencia
genérica de caos. De cualquier modo, esto deja afuera las familias que
puedan surgir en aplicaciones. Por último, existen honorables trabajos
donde intentan probar caos formalmente para mapas del anillo, y es
increíble ver lo difícil que resulta, y lo pobre que son los
resultados, en el sentido de que se deben hacer restricciones infames
de los parámetros para que los métodos utilizados funcionen.
En base a esta breve historia, queremos discutir avances en la
pregunta, ¿es este mapa caótico?
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Viernes 31/5 a las 14:30
Salón de seminarios del IMERL
Contacto: Santiago Martinchich - Luis Pedro Piñeyrúa -
santiago.martinchich@fcea.edu.
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El seminario será transmitido por el siguiente link si alguien
manifiesta interés de que así ocurra hasta el día antes del seminario:
https://salavirtual-udelar.zoo
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Un paseo crítico por la teoría de las ecuaciones diferenciales, y algunos resultados recientes
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Fecha de fin