Dinámica hiperbólica: el "embrollo homoclínico" de Poincaré, herraduras y caos

Resumen: Al estudiar el problema de los 3 cuerpos (restricto planar) mediante un mapa de retorno, Poincaré descubrió un comportamiento dinámico sumamente complicado cerca de ciertos puntos, que llamaremos intersecciones homoclínicas transversales, que podemos considerar "caótico".

Abordaremos el modelo de la herradura de Smale como forma de estudiar qué ocurre cerca de estas intersecciones homoclínicas, y probaremos que su dinámica tiene características que podemos llamar "caóticas", apoyandonos en la dinámica simbólica.

Introducimos la idea de hiperbolicidad uniforme en el contexto de un difeomorfismo f en una variedad M (compacta, suave, sin borde) y un conjunto f-invariante lambda, así como las definiciones de variedades estable e inestable de un punto. Utilizamos como ejemplo el Cat Map de Arnold en el toro T^2, y presentamos algunos teoremas y herramientas propios de la dinámica hiperbólica uniforme.

Para concluir presentamos la idea de transitividad robusta C^1 de Mañé y abordamos su relación con la hiperbolicidad uniforme y la hiperbolicidad parcial. La pregunta es: dada una dinámica C^1 - transitivamente robusta en una variedad M, ¿qué podemos decir sobre la variedad M? ¿y sobre el mapa f? Comentamos brevemente algunos resultados y avances en esta línea de investigación.