Clases de isotopía de homeomorfismos de Brouwer relativas a r>0 órbitas

Resumen: Este trabajo investiga las similitudes entre los homeomorfismos de Brouwer (homeomorfismos del plano que preservan la orientación y no tienen puntos fijos) y los mapas de tiempo-1 de flujos autónomos no singulares en el plano (aquí llamados simplemente flujos). Nos interesa la pregunta: Sea f un homeomorfismo de Brouwer y sean O1,...,Or órbitas de f. ¿Podemos hacer una isotopía de f a un flujo F fijando todas las órbitas O1,...,Or?

El primero en trabajar en este problema fue M. Handel, seguido años después por F. Le Roux y J. Bavard. Utilizando la llamada teoría homotópica de Brouwer, consiguieron demostrar que la respuesta a esta pregunta es sí, si r=1,2 ó 3, pero no si r>3. Estos resultados son muy útiles, ya que nos permiten importar algunas propiedades rígidas y bien comprendidas de los flujos al contexto de los homeomorfismos. Sin embargo, existen muy pocas o ninguna conexión entre la maquinaria desarrollada en estos trabajos y las herramientas modernas que se utilizan actualmente en la dinámica topológica de superficies, como por ejemplo la teoría de Brouwer foliada.

Nuestro objetivo es primero: construir una nueva estructura para esta teoría, más natural e intuitiva, preferencialmente basado en la teoría de Brouwer foliada y la noción de trayectorias transversales. A partir de aquí, queremos explorar nuevos conceptos que esta construcción nos permite investigar. En particular, mostramos que ahora es possible distinguir clases de isotopía de Brouwer (isotopías que no crean puntos fijos) de un homeomorfismo del plano relativas a sus órbitas O1,...,Or.