Simplificación y generalización de la descomposición de Meyer-Schmidt

Resumen:

Todo empezó estudiando las órbitas hiperbólicas del problema de N cuerpos.
Se trata de los movimientos en los cuales los cuerpos se dispersan y terminan determinando una forma límite para su expansión.
¿Es posible hallar movimientos en los cuales las formas de expansión en el futuro y en el pasado sean las que uno quiera?
Los únicos movimientos conocidos para los cuales hay expansión en el pasado y en el futuro son las órbitas homográficas descubiertas por Lagrange, y además de ser unas pocas, las formas de expansión en el futuro y el pasado son semejantes.

Recientemente logré probar que la versión local de este problema equivale a la transversalidad de dos fibrados lagrangianos invariantes, increíblemente desconocidos por los expertos en el tema hasta ahora. Son los equivalentes a los fibrados de Green cuando uno estudian flujos geodésicos en variedades de curvatura negativa, y su transversalidad equivale a que el flujo geodésico sea Anosov.

Con Renato Iturriaga, estudiamos la transversalidad de estos fibrados sobre las órbitas homográficas de Lagrange. Para eso estudiamos la ecuación de Jacobi correspondiente, y descubrimos que para estos movimientos la ecuación se descompone naturalmente: hay dos subespacios invariantes, el primero no depende de nada, el segundo de las masas de los cuerpos.

Es tan general esta descomposición, que no sólo se aplica a las órbitas homográficas hiperbólicas: cuando observamos su aplicación a las órbitas elípticas obtuvimos un criterio simple de inestabilidad. No sin pena encontramos poco después una forma particular de esta descomposición en un trabajo de Ken Meyer y Dieter Schmidt del 2005 ( https://zbmath.org/1071.70008 ), en el que justamente estudian la estabilidad de esos movimientos. Sin embargo, ellos jamás consideraron su aplicación al problema de difusión hiperbólica para el cual nosotros obtuvimos una solución local afirmativa, y por otra parte, la descripción que dan es mucho más compleja. Por otra parte, nuestro punto de vista se aplica a movimientos no homográficos, como lo es el célebre problema isósceles de Sitnikov, descrito en J. Moser: "Stable and Random Motion", Princeton Univ. Press, 1973, aunque todavía nadie ha explotado esto.